Reihe für den Logarithmus
Die Mercatorreihe ergibt eine Taylorreihe für den natürlichen Logarithmus (lateinisch: logarithmus naturalis)
Erläuterung
Die Identität für Reihen lautet
Wir wandeln dies in eine besser verwendbare Formel um und ersetzen r = – t
Jetzt dividieren wir durch 1 + t und erhalten
Dies ist
Für |t| < 1 und n → ∞ gilt tn+1→ 0, so dass
Dies ist eine elegante Formel, die wir leicht integrieren können
Berechnet man die Umkehrung der Ableitung des Logarithmus, so ergibt sich
Beispiel 1
Man kann sehen, dass ln (1) = 0, denn
ln (1) = 0 − 0 + 0 − 0 + ⋯ = 0
GeschichteDer deutsche Mathematiker Nikolaus Mercator verwendete den lateinischen Namen "logarithmus naturalis" in seiner Abhandlung Logarithmo-technica von 1668. |