< 1 2 >
Reeks voor het getal e
Het getal e = 2,7182… is de som van omgekeerde faculteiten en heeft de reeksontwikkeling
Uitleg
Substitutie van de exponentiële functie f (x) = ax in de definitie van de afgeleide geeft
Herleiden levert dan
Voor x = 0 wordt het
Dit is een constante, want er zit geen x meer in. De waarde hangt alleen af van a, het grondtal. Je kunt daarom schrijven
Nu willen we graag weten voor welke waarde van a de functie f ′(0) = 1, want dan is f ′(x) = ax, en is de functie zijn eigen afgeleide. Dus gaan we rekenen aan
Vermenigvuldig met h
Verschuiven
Vereenvoudigen
Stel , en omdat h → 0 levert dat n → ∞, en dus is
Gebruik nu de binomium ontwikkeling, dan krijg je
Het ging om de limiet, dus we schrijven
Als we op de verschillende termen meerdere malen de regel van de l'Hôpital toepassen, dan geeft dit
Daarin geven de opvolgende termen
1 = 1,0000
1/1! = 1,0000
1/2! = 0,5000
1/3! = 0,1667
1/4! = 0,0417
1/5! = 0,0083
1/6! = 0,0014
-------
e = 2,718…
Het antwoord is tot 3 plaatsen nauwkeurig.
GeschiedenisDe reeks wordt meestal geschreven als |