Reeks voor de logaritme
De logaritme heeft de reeksontwikkeling
Uitleg
Bij het berekenen van een reeks voor de logaritme kunnen we niet werken met f (x) = ln x, want dat is niet gedefinieerd voor x = 0. Daarom nemen we
wat wel een bruikbaar resultaat oplevert. Deze functie gaan we meermaals differentiëren
wat je algemeen kunt schrijven als
Dat is een verbluffende regelmaat. De Taylorreeks gaan we hiermee invullen
Substitutie van x = x – 1 geeft de uiteindelijke vorm
Voorbeeld 1
Je kunt zien dat ln 1 = 0, want
ln 1 = 0 − 0 + 0 − 0 + ⋯ = 0
Voorbeeld 2
Je kunt zien dat ln 2 een harmonische alternerende oneindige reeks is
ln 2 = 1 − ½ + ⅓ − ¼ + ⋯