Maeckes logo

<    1      2      3      4      5      6    >


Regel van l'Hôpital

De limiet van een quotiënt kun je soms uitrekenen met de regel van L'Hôpital

als de functie in dit punt onbepaald is.

 


Uitleg

De uitkomst van een breuk is onbepaald bij

    of    

We weten het juiste antwoord dan niet. Met de regel van l'Hôpital kun je die breuken vaak toch oplossen. Je gaat dan werken met limieten en afgeleiden. Dat is niet altijd mogelijk, want zo moet je de afgeleiden wel kunnen bepalen. Het gaat alleen bij functies die continue zijn. Bovendien mag de noemer van de breuk tijdens de berekening niet nul worden.

 


Voorbeeld 1a

We beginnen met de breuk

Voor x = 3 levert deze breuk problemen op want

en dat is onbepaald. We gaan daarom ook eens rekenen met x = 3 + Δx en dat levert

Je mag de teller en de noemer door Δx delen, omdat dit niet nul is, en krijgen

Dat is toch frappant. Het juiste antwoord hebben we op deze manier wel kunnen vinden.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Voorbeeld 1b

Nu gaan we als controle de regel van l'Hôpital gebruiken. Eerst berekenen we de afgeleiden van f (x) en (x)

Omdat de teller en de noemer voor x = 3 allebei 0 worden, mogen we schrijven

We delen vervolgens de teller en de noemer door x – 3 en zien

De limiet van een quotiënt is

en omdat, zoals we gezien hebben, g′ (x) ≠ 0 krijgen we hier

 


Algemeen

Hieruit volgt direct de regel van l'Hôpital