Regel van l'Hôpital
De limiet van een quotiënt kun je soms uitrekenen met de regel van L'Hôpital
als de functie in dit punt onbepaald is.
Uitleg
De uitkomst van een breuk is onbepaald bij
We weten het juiste antwoord dan niet. Met de regel van l'Hôpital kun je die breuken vaak toch oplossen. Je gaat dan werken met limieten en afgeleiden. Dat is niet altijd mogelijk, want zo moet je de afgeleiden wel kunnen bepalen. Het gaat alleen bij functies die continue zijn. Bovendien mag de noemer van de breuk tijdens de berekening niet nul worden.
Voorbeeld 1a
We beginnen met de breuk
Voor x = 3 levert deze breuk problemen op want
en dat is onbepaald. We gaan daarom ook eens rekenen met x = 3 + Δx en dat levert
Je mag de teller en de noemer door Δx delen, omdat dit niet nul is, en krijgen
Dat is toch frappant. Het juiste antwoord hebben we op deze manier wel kunnen vinden.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Voorbeeld 1b
Nu gaan we als controle de regel van l'Hôpital gebruiken. Eerst berekenen we de afgeleiden van f (x) en g (x)
Omdat de teller en de noemer voor x = 3 allebei 0 worden, mogen we schrijven
We delen vervolgens de teller en de noemer door x – 3 en zien
De limiet van een quotiënt is
en omdat, zoals we gezien hebben, g′ (x) ≠ 0 krijgen we hier
Algemeen
Hieruit volgt direct de regel van l'Hôpital