洛必达法则 ∞/∞

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假设对于某个实开区间 (c, b) 中的所有 x，f ′(x) 和 g ′(x) 都存在，且 g ′(x) ≠ 0。假设

和

如果 lim_x→ c⁺ (f ′(x) / g ′(x)) 存在，那么洛必达法则成立

设 L = lim_x→ c⁺ (f ′(x) / g ′(x))。根据均值定理，每个实数的解都是

c < x < y < c + r

的每一个实解都是

x < t < y,

我们将其写成

x < t < y,

设 y₁ ≈ c 和 y₁ > c。则 f (y₁) 和 g (y₁) 为正无穷，它们的乘积 K = f (y₁) g (y₁) 也是如此。根据 lim_x→ c⁺ g ′(x) = ∞ 的 M, δ 条件，对于每一个实数 M，都有一个实数 δ (M)，使得每个实数解

c < x < c + δ (M)

是 g (x) > M 的一个解。让 δ₁ 是这样的： 0 < δ₁≤ δ (K) 并且 c + δ₁ < y₁。考虑任何 x₁，c < x₁ < c + δ₁。根据转移原理，g (x₁) > K。此外

c < x₁ < y₁ < c + x

所以根据部分解决定理，有一个 t₁，使公式成立。那么

同时

所以 (f (y₁) / g (x₁)) ≈ 0。同样，(g (y₁) / g (x₁)) ≈ 0。取公式中的标准部分，我们有

因此

由于这在 c < x₁ < c + δ₁ 时成立，我们从极限的定义中可以看出

德裔美国数学家亚伯拉罕-罗宾逊在 1960 年初是这样描述法国数学家纪尧姆-德-伊凡的这条规则的。