Regla de L'Hospital para ∞/∞
Suponga que para todo x en algún intervalo abierto real (c, b), tanto f ′(x) como g ′(x) existen y g ′(x) ≠ 0. Suponga que
y
Si limx→ c⁺ (f ′(x) / g ′(x)) existe, entonces se aplica la regla de L'Hospital
Explicación
Sea L = limx→ c⁺ (f ′(x) / g ′(x)). Por el teorema del valor medio toda solución real de
c < x < y < c + r
es una solución parcial de
x < t < y,
que escribimos como
x < t < y,
.
Sea y1 ≈ c e y1 > c. Entonces f (y1) y g (y1) son infinitos positivos, y también lo es su producto K = f (y1) g (y1). Por la condición M, δ para limx→ c⁺ g ′(x) = ∞, para todo M real existe un δ (M) real tal que toda solución real de
c < x < c + δ (M)
es una solución de g (x) > M. Sea δ1 tal que 0 < δ1≤ δ (K) y c + δ1 < y1. Consideremos cualquier x1 con c < x1 < c + δ1. Por el principio de transferencia, g (x1) > K. Además,
c < x1 < y1 < c + x
por lo que por el teorema de la solución parcial existe un t1 tal que la fórmula se cumple. Entonces
También
por lo que (f (y1) / g (x1)) ≈ 0. Del mismo modo (g (y1) / g (x1)) ≈ 0. Tomando las partes estándar en la fórmula, tenemos
por lo que
Como esto se cumple para c < x1 < c + δ1 vemos por la definición del límite que
HistoriaEl matemático germano-estadounidense Abraham Robinson describió así la regla del matemático francés Guillaume de l'Hospital a principios de la década de 1960. |