Правило л'Оспиталя для ∞/∞
Предположим, что для всех x в некотором действительном открытом интервале (c, b) существуют f ′(x) и g ′(x), причем
и
Если limx→ c⁺ (f ′(x) / g ′(x)) существует, то действует правило л'Опиталя
Пояснение
Пусть L = limx→ c⁺ (f ′(x) / g ′(x)). Теорема о среднем значении говорит, что для любого действительного решения
c < x < y < c + r
также существует частичное решение
x < t < y,
который мы запишем как
x < t < y,
Пусть y1 ≈ c и y1 > c. Тогда f (y1) и g (y1) положительно бесконечны, как и их произведение K = f (y1) g (y1). По условию M, δ для limx→ c⁺ g ′(x) = ∞ для каждого вещественного M существует вещественное δ (M) такое, что каждое вещественное решение
c < x < c + δ (M)
является решением g (x) > M. Пусть δ1 таково, что 0 < δ1≤ δ (K) и c + δ1 < y1. Возьмем любой x1 при c < x1 < c + δ1. Тогда принцип переноса говорит, что g (x1) > K. Более того, имеет место, что
c < x1 < y1 < c + x
поэтому, согласно теореме о частичных решениях, существует t1 такое, что формула выполняется. Затем
Также держит
поэтому (f (y1) / g (x1)) ≈ 0. Аналогично, (g (y1) / g (x1)) ≈ 0. Для стандартных частей формулы получаем
чтобы
Поскольку это справедливо для c < x1 < c + δ1, то из определения предела следует, что
ИсторияНемецко-американский математик Абрахам Робинсон в начале 1960-х годов так описал правило французского математика Гийома де л'Оспиталя. |