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Steigung

Die Steigung ist ein Maß für den Anstieg einer Krumme in einem bestimmten Punkt.

 


Erläuterung

Eine gerade Linie durch den Punkt (a, 0) kann man schreiben als

m (x − a)

Für die Steigung m gilt dann

Die Steigung nennt man auch den Tangens. Damit kann man den Anstieg einer kontinuierlichen Funktion bestimmen.

 


Beispiel 1

Untersuche die Wendepunkte der Funktion f (x) = x4 − 6x3 + 12x2 − 8x + 1

f ′(x) = 4x3 − 18x2 + 24x − 8
f ′′(x) = 12x2 − 36x + 24
f ′′′(x) = 24x − 36

Für ein Wendepunkt gilt f ′′(x) = 0 und f ′′′(x) ≠ 0

12x2 − 36x + 24 = 0     ⇒        x2 − 3x + 2 = 0     ⇒        x1 = 1           x2 = 2

f ′′′(1) = 24 − 36 = −12    ⇒    W1 (1, 0)
f ′′′(2) = 48 − 36 = 12      ⇒    W2 (2, 1)

Die Steigung der Wendetangente beträgt m = f ′(xw)

W1 (1, 0)          ⇒          m1 = f ′(1) = 4 − 18 + 24 − 8 = 2     aufsteigend
W2 (2, 1)          ⇒          m2 = f ′(2) = 32 − 72 + 48 − 8 = 0     horizontal

 


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