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Sinus

Der Sinus wird mit Exponentialfunktionen definiert als

 

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Erläuterung

Wir fangen an mit der Reihe für den Sinus

Zuerst multiplizieren wir mit 2i und bekommen

Darin stehen nur ungerade Exponente und nach umrechnen der imaginären Einheit schreiben wir

wo alle Terme nun ein Pluszeichen haben. Das kannst du auch schreiben wie

Hier fügen wir gerade Exponente hinzu, die wir sofort wieder subtrahieren

Umordnen ergibt

In Klammern stehen zwei Reihen für Exponentialfunktionen also gilt

sodass

 

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Geometrische Erläuterung

Der Einheitskreis ermöglicht es, den vertikalen Abstand zwischen den Punkten e^ix und e^−ix zu berechnen als | e^ix − e^−ix |.

Daher gilt für den Sinus

i · sin x = ½ (e^ix − e^−ix)

 

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Beispiel 1

Man kann sehen, dass sin (2π) = 0, denn

 

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Beispiel 2

Man kann sehen, dass sin (½π) = 1, denn

 

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Beispiel 3

Man kann sehen, dass sin² (¾π) = 0,5, denn

 

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Geschichte Diese Formel für den Sinus wurde vom Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707 - 1783) beschrieben.

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